开方密码：从一到廿五万的数学诗行 第5章 根号9与根号10

根号下的晨昏线

九月的风带着梧桐叶的碎影，落在明大数学系三楼的研讨室玻璃窗上。陆明渊指尖捏着半截白色粉笔，转身时黑板上已留下两道利落的根号——√9与√10并排躺着，像两枚等待拆解的月光。

“所以这里存在一个认知盲区。”他声音清冽，目光扫过台下三人，最终落在苏知珩身上，“我们默认√9=3是精确值，却忽略了它本质上也是无理数的特例。”

苏知珩坐在第一排，笔记本上早已画满了辅助线。听到这话，她笔尖一顿，抬头时恰好撞进陆明渊的视线。窗外的阳光斜斜切进来，在他睫毛下投出浅淡的阴影，竟让那句专业论述多了几分温柔。她轻咳一声，将注意力拉回笔记本：“你的意思是，√9的整数属性是人为定义的简化结果？”

“是‘共识性简化’。”陆明渊补充，粉笔在√9下方画了个圈，“就像我们把圆周率取3.14，把自然常数取2.718，本质上都是为了降低计算成本。但从数学纯粹性来看，√9与√10一样，都是无限不循环小数的特殊形态。”

“我不认同。”裴砚舟的声音从角落传来。他靠在椅背上，修长的手指转着钢笔，目光里带着几分漫不经心的挑战，“数学的核心价值在于实用性。如果非要纠结√9的无限形态，那日常计算中所有整数根号都该被归为无理数，这显然违背了数学工具化的初衷。”

江叙遥坐在裴砚舟旁边，闻言立刻点头附和：“砚舟说得对。上周我帮经济系做数据模型时，要是把√9拆成3.0000000001来计算，误差反而会扩大。数学应该服务于现实，而不是陷入纯粹的理论迷宫。”

研讨室里的空气顿时有了微妙的张力。陆明渊放下粉笔，走到讲台边缘，目光依次掠过裴砚舟和江叙遥，最后停在苏知珩身上：“实用性不等于放弃本质。以√10为例，它的无限不循环性是客观属性，而√9的整数形态是主观选择的结果。我们不能因为主观选择更便利，就否定客观属性的存在。”

苏知珩忽然想起三天前在图书馆的偶遇。那时她正对着一本《数论基础》皱眉，陆明渊拿着同样的书在她对面坐下，指尖在书页上指出√9的两种表述方式——代数形式3与极限形式lim(n→∞)3.000…01^n。“数学最迷人的地方，”他当时说，“就是在确定性中找到不确定性，又在不确定性中构建新的确定性。”

此刻她将这段对话复述出来，裴砚舟的钢笔停住了转动：“这是诡辩。极限形式只是理论假设，不能等同于实际属性。就像我们说‘人终有一死’，但不会因此否定‘人活着’这个现实状态。”

“但数学的逻辑链恰恰需要这种‘否定性确认’。”陆明渊反驳，“如果只承认√9=3，忽略它的无理数本质，那在解释√10的无限性时就会出现逻辑断层。比如在数轴上，√9与√10之间的距离是√10-3，这个差值本身就是无理数，难道我们要因为它无法精确表述，就否认这段距离的存在？”

江叙遥拿出手机，快速搜索着相关定义：“维基百科里明确说，完全平方数的平方根是整数，属于有理数范畴。这是国际数学界的共识，不是主观选择。”

“共识不代表真理。”陆明渊走到黑板前，用粉笔在√9和√10之间画了一条竖线，“在非欧几何出现之前，‘平行线永不相交’也是共识。数学的发展，恰恰是不断打破旧共识、建立新逻辑的过程。”

苏知珩看着黑板上的竖线，忽然有了新的思路：“或许我们可以换个角度。从拓扑学来看，√9和√10在数轴上都是孤立点，但√9的孤立性源于人为定义的整数节点，而√10的孤立性源于自身的无限属性。这两种孤立性的本质差异，才是问题的核心。”

陆明渊眼中闪过一丝赞许：“没错。就像两座孤岛，一座是人工填海造出来的，一座是天然形成的。表面上看都是岛屿，但形成逻辑完全不同。√9的整数属性，就是数学世界里的‘人工填海’。”

裴砚舟站起身，走到黑板前，在√10旁边写下“√(9 1)”：“可即便如此，√9的实用性依然不可替代。比如在密码学中，基于完全平方数的加密算法，正是利用了√9的整数属性来提高解密效率。如果非要用无理数形态来构建算法，整个加密体系都会崩溃。”

“这是应用场景的差异，不是本质的否定。”苏知珩反驳，“就像我们用计算器计算时，会直接用3代替√9，但在证明费马大定理时，却必须考虑√9的无理数本质。不能因为某个场景下的便利，就否定另一个场景下的本质。”

江叙遥将笔记本摊开在众人面前，上面画着√9和√10的函数图像：“你们看，当x=9时，y=√x的导数是1/(2√9)=1/6，而x=10时，导数是1/(2√10)≈0.158。这两个导数的差异，恰恰体现了√9的整数属性带来的计算便利性——1/6是精确值，而1/(2√10)是近似值。”

陆明渊俯身看着图像，手指在x轴上的9和10之间滑动：“但导数的精确性，本质上还是源于我们对√9的定义选择。如果我们将√9定义为3.0000000001，那么它的导数也会变成近似值。这说明，所谓的‘精确性’，不过是人为设定的锚点。”

研讨室里的阳光渐渐西斜，梧桐叶的影子在黑板上拉长，像无数条细小的数轴。苏知珩看着陆明渊专注的侧脸，忽然想起大一刚入学时，她在开学典礼上听他作为新生代表发言。那时他说：“数学不是冰冷的公式，而是理解世界的语言。每一个根号里，都藏着宇宙的褶皱。”

“或许我们不需要争论谁对谁错。”苏知珩忽然开口，打破了短暂的沉默，“√9和√10的差异，本质上是数学的‘二元性’体现——既有服务现实的实用性，也有探索本质的纯粹性。就像我们既需要用3来计算购物账单，也需要用√9的无理数本质来理解数论的深层逻辑。”

陆明渊转过身，眼中带着明显的笑意：“这是我听过最准确的总结。数学从来不是非此即彼的选择，而是在实用性与纯粹性之间寻找平衡。√9是这个平衡的支点，而√10是延伸出去的探索线。”

裴砚舟收起钢笔，走到苏知珩身边，看着她笔记本上的辅助线：“虽然不完全同意，但这个‘二元性’的说法确实有道理。下次做密码学实验时，或许可以尝试结合两者的特性，看看能不能优化算法效率。”

江叙遥笑着补充：“那我可以帮忙做数据建模，正好对比一下用√9的整数形态和无理数形态计算的误差差异。”

窗外的天色渐渐暗下来，研讨室里的灯光亮起，将黑板上的√9与√10照得格外清晰。陆明渊拿起粉笔，在两道根号下方写下一行字：“数学的意义，在于承认差异，拥抱多元。”

苏知珩看着那行字，忽然觉得，根号里藏着的不只是数字，还有人与人之间的思维碰撞——就像√9与√10，看似截然不同，却在数学的宇宙里，共同构成了完整的逻辑图景。她缓缓地抬起头，目光如同一束温暖的阳光，穿过茂密的树叶间隙，洒落在陆明渊的身上。就在那一瞬间，她的视线与陆明渊的目光交汇，宛如两颗流星在夜空中相遇。

时间似乎在这一刻静止了，周围的喧嚣都渐渐远去，只剩下他们彼此的微笑似乎在这一刻静止了。

裴砚舟收拾东西时，无意间瞥见苏知珩笔记本上的一行小字：“√9=3，是现实的锚；√10≈3.162，是理想的光。”他愣了愣，随即嘴角扬起一抹笑意，将这句话记在了自己的手机备忘录里。江叙遥看到他的动作，凑过去一看，也忍不住笑了：“这句话说得真好，比我们争论了一下午都透彻。”

四人走出研讨室时，夜色已经笼罩了校园。梧桐叶在路灯下沙沙作响，像无数个细小的根号在轻声呢喃。陆明渊忽然停下脚步，对三人说：“下周我们可以开一个专题研讨会，就叫‘根号下的数学二元性’，把今天的讨论延伸下去。”

周末有空吗？一起去看那部新上映的科幻电影？”

听到这话，苏知珩握着笔的手微微一顿，随即抬起头，原本有些疲惫的眼睛瞬间亮了起来，像揉碎了的星光。

“好啊。”他立刻答应，眼中闪着期待的光芒，嘴角不自觉地上扬，露出两个浅浅的梨涡。

他放下手中的书，那本厚厚的专业书被随意地放在桌上，仿佛刚才的专注从未存在过。心里像揣了只小兔子，怦怦直跳，他甚至已经开始想象电影里的精彩画面，想象着和朋友一起坐在影院里的兴奋场景。

“是几点的场次？”他急切地问道，身体微微前倾，眼神里的期待几乎要溢出来。窗外的阳光透过树叶的缝隙洒进来，落在他微扬的嘴角，也落在他那双充满期待的眼睛里，一切都显得那么美好而充满希望。这个周末，因为这个约定，变得格外值得期待起来。

裴砚舟点头：“我可以邀请计算机系的同学来参加，从应用角度补充案例。”

江叙遥笑着说：“那我负责整理今天的讨论记录，做成PPT分享给大家。”

四个人的脚步声在夜色里交织，像四条不同的数轴，最终在根号的指引下，汇聚到了同一条轨迹上。苏知珩看着前方陆明渊的背影，忽然想起他在黑板上写下的那句话——数学的意义，在于承认差异，拥抱多元。或许人与人之间的相处，也是如此。就像√9与√10，看似不同，却各自精彩，共同构成了这个世界的丰富与完整。

夜色渐深，校园里的灯光像无数个细小的根号，在黑暗中点亮了属于数学的浪漫。而那道关于√9与√10的讨论，也像一颗种子，在四人的心里埋下了探索的萌芽，等待着在未来的某一天，绽放出更绚烂的思维之花。

在数字铺就的无尽长路上，根号9与根号10是相邻的两块里程碑。根号9稳稳立在整数3的坐标点，碑身镌刻着清晰的棱角，像被工匠精心打磨过的界石，每一道线条都透着不容置疑的笃定。它从不漂移，也无需延展，脚下的位置就是宇宙给予的精确答案，连影子都方方正正落在线性的光阴里。

而紧挨着它的根号10，碑体却始终泛着流动的光泽。小数点后无穷尽的数字如同细密的星子，在午夜的墨色里不断生长出新的轨迹——3.1415之后，总有更细微的星辰在人类认知的边界闪烁。它不像邻居那样拥有固定的轮廓，却在每一次对"下一位"的探索中，让空气里漂浮着薄荷般的新鲜感。

两只石兽蹲守在根号9的基座旁，爪下踩着"确定"的符咒；根号10的碑前则飞舞着透明的蝴蝶，翅膀上凝结着π的碎屑。当晨雾漫过这条路，根号9的影子会被拉长成标准的矩形，而根号10的轮廓总在雾霭中微微颤动，像一首永远写不完的十四行诗，每一行押韵的尾音都藏在无限循环的季风里。

它们共享同一片路基下的沉默，却活在两个维度的黎明。根号9用永恒的3守护着，未知的荒野发起永不终结的远征。

第005章 根号9与根号10

作者有话说

显示所有文的作话

第5章 根号9与根号10