开方密码：从一到廿五万的数学诗行 第4章 根号7与根号8

根号之下

数学办公室的日光灯管发出轻微的嗡鸣，将四张办公桌的阴影切割得方方正正。陆明渊指尖捏着半截白色粉笔，在黑板上悬停片刻，终于落下，粉笔灰簌簌落在他深蓝色衬衫的袖口，留下一道浅白的痕迹。

“所以我们现在要比较的是√7和√8的大小，”他转过身，镜片后的目光扫过坐在前排的三个人，“常规方法有哪些？谁来试试？”

苏知珩的笔记本上已经画满了细碎的演算步骤，听到提问，她几乎是立刻举起了手。她的指甲修剪得整齐干净，指尖轻轻点在笔记本上的某一行：“可以用平方法，因为两个数都是正数，平方后大小关系不变。(√7)?=7，(√8)?=8，7＜8，所以√7＜√8。”

她说话时声音很轻，却带着一种不容置疑的笃定。裴砚舟坐在她旁边，闻言侧过头看了一眼她的笔记本，嘴角勾起一抹浅笑：“知珩还是这么直接，不过确实是最稳妥的方法。”他顿了顿，起身走到黑板另一侧，拿起另一支粉笔，“不过也可以用差值法。√8 - √7，分子有理化之后是1/(√8 √7)，结果是正数，所以√8比√7大。”

粉笔在黑板上划过，留下清晰的轨迹。江叙遥托着下巴，目光落在黑板上的两个根号上，忽然开口：“你们说，有没有可能从几何的角度来看？比如把它们看作直角三角形的斜边。”

陆明渊眼中闪过一丝赞许：“叙遥这个思路很有意思，具体说说？”

江叙遥站起身，走到黑板前，在两个根号下方画了两个直角三角形：“第一个三角形，两条直角边分别是√3和2，根据勾股定理，斜边就是√[(√3)? 2?] = √(3 4) = √7。第二个三角形，直角边是2和2，斜边就是√(2? 2?) = √8。这样一来，只要比较两个斜边的长度，就能知道√7和√8的大小了。”

她画的三角形线条流畅，甚至还细心地标注了边长。陆明渊点点头，接过她手中的粉笔，在两个三角形旁边画了一条数轴：“如果我们把这两个斜边的长度转移到数轴上，从原点出发，√7对应的点会在2和3之间，更靠近3，而√8同样在2和3之间，但比√7更靠近3。这样一来，大小关系就更直观了。”

苏知珩看着黑板上的数轴，忽然皱了皱眉：“不过这种几何方法会不会有误差？毕竟画图的时候很难做到绝对精准。”

裴砚舟放下手中的笔，指尖在桌面上轻轻敲击：“确实存在这个问题，所以几何方法更多的是帮助我们理解，而平方法和差值法才是严格的证明。”他顿了顿，目光转向陆明渊，“陆老师，您有没有更特别的方法？比如用函数的单调性？”

陆明渊笑了笑，走到黑板中央，在两个根号上方写了一个函数：f(x) = √x。“这个函数的定义域是x≥0，我们可以求它的导数，f’(x) = 1/(2√x)，在定义域内，导数始终为正，所以f(x)是单调递增函数。因为7＜8，所以f(7)＜f(8)，也就是√7＜√8。”

他的粉笔字写得苍劲有力，每一个符号都恰到好处。苏知珩看着那个导数公式，忽然想起高中时第一次学导数的场景，也是陆明渊站在讲台上，耐心地讲解着每一个步骤。那时候她总是坐在第一排，笔记本上记得密密麻麻，偶尔抬头，总能看到他认真的侧脸。

“用函数单调性来证明，确实很简洁，”江叙遥的声音打断了苏知珩的思绪，“不过我突然想到，还可以用放缩法。比如√7，我们知道2.6?=6.76，2.7?=7.29，所以√7在2.6和2.7之间。而√8，2.8?=7.84，2.9?=8.41，所以√8在2.8和2.9之间。这样一来，√7＜√8就很明显了。”

裴砚舟挑了挑眉：“叙遥对数字还真是敏感，不过这种方法需要记住一些平方数，对于不熟悉的人来说可能有点麻烦。”他顿了顿，又补充道，“不过放缩法在解决一些复杂的不等式问题时，还是很有用的。”

陆明渊靠在讲台上，双手交叉放在胸前：“其实每种方法都有它的适用场景，没有绝对的好坏之分。平方法简单直接，适合初学者；差值法需要一定的代数技巧；几何方法直观易懂，能帮助我们建立空间概念；函数单调性则体现了微积分的思想；放缩法则更灵活，需要对数字有敏锐的感知。”

苏知珩低头看着笔记本，忽然在空白处写下了一行字：“数学的魅力，就在于从不同的角度看同一个问题，总能发现新的惊喜。”她写完后，下意识地抬头看了一眼陆明渊，正好对上他的目光，两人都愣了一下，随即又不约而同地移开了视线。

裴砚舟将这一切看在眼里，嘴角的笑容淡了几分。他拿起粉笔，在黑板上写下了一串复杂的公式：“其实还有一种方法，不过可能有点复杂。我们可以用泰勒展开式，将√x在x=9处展开，因为9是一个完全平方数，计算起来比较方便。√x = 3 - (9 - x)/(2×3) (9 - x)?/(8×9√9) -... ，然后分别代入x=7和x=8，计算前几项的近似值，也能比较出它们的大小。”

江叙遥看着那串公式，轻轻皱了皱眉：“泰勒展开式确实有点复杂，而且计算量也很大，不过对于追求精确近似值的人来说，确实是个好方法。”

陆明渊点点头：“泰勒展开式在高等数学中应用很广泛，不过在比较两个简单的无理数大小时，确实有点大材小用了。”他顿了顿，目光扫过黑板上的各种方法，“其实我们今天讨论的不仅仅是√7和√8的大小，更重要的是通过这个简单的问题，体会数学的思维方式。从不同的角度出发，运用不同的知识，最终得出同一个结论，这就是数学的严谨性和灵活性所在。”

苏知珩忽然想起自己曾经遇到的一个难题，那时候她被困在一个复杂的不等式证明中，无论怎么尝试都找不到突破口。后来陆明渊提醒她，换一种思路，从几何的角度去思考，她才豁然开朗。“陆老师说得对，有时候我们在解决问题时，会陷入固定的思维模式，以为只有一种方法可行，其实换个角度，可能会发现新的途径。”

裴砚舟放下手中的粉笔，走到苏知珩身边，拿起她的笔记本看了一眼：“知珩的笔记本还是这么整齐，记得这么详细。”他顿了顿，目光落在她写的那行字上，“数学的魅力，确实在于不断探索新的角度。”

江叙遥看着他们三人，忽然笑了笑：“其实我觉得，数学就像一座迷宫，有很多条路可以走，有的路平坦宽阔，有的路崎岖狭窄，但只要坚持下去，总能找到出口。而√7和√8，就像是迷宫中的两个路标，指引着我们前进的方向。”

陆明渊闻言，眼中闪过一丝欣慰：“叙遥这个比喻很贴切。数学确实像一座迷宫，每一个问题都是一个新的起点，每一种方法都是一条新的路径。在探索的过程中，我们不仅能学到知识，还能锻炼思维能力，培养解决问题的勇气和耐心。”

他拿起粉笔，在黑板上的√7和√8旁边画了一个箭头，指向远方：“其实√7和√8只是数学世界中的两个小小角落，在它们之外，还有更广阔的天地等着我们去探索。比如√2、√3，甚至更复杂的无理数，还有微积分、线性代数、概率论等等。每一个领域都有它独特的魅力，每一个问题都值得我们去深入研究。”

苏知珩看着黑板上的箭头，心中忽然涌起一股莫名的冲动。她想起自己小时候第一次接触数学时的情景，那时候她觉得数学只是枯燥的数字和公式，可是随着学习的深入，她渐渐发现了数学的美。那种逻辑的严谨、思维的灵活、方法的多样，都让她着迷。“我记得以前总觉得数学很难，可是现在才发现，只要真正投入进去，就能感受到它的魅力。”

裴砚舟看着苏知珩眼中的光芒，心中有些复杂。他和苏知珩认识很久了，从高中到大学，再到现在一起在研究所工作，他一直很欣赏她对数学的热爱和执着。“知珩，你一直都很优秀，对数学有着天生的敏感度。我相信你以后一定能在数学领域取得更大的成就。”

江叙遥也点点头：“知珩确实很厉害，每次遇到难题，她总能很快找到解决方法。我还要多向你学习呢。”

陆明渊看着眼前的三个年轻人，心中充满了欣慰。他从事数学教学和研究已经二十多年了，见过很多对数学感兴趣的学生，可是像苏知珩、裴砚舟、江叙遥这样，对数学有着执着追求和深刻理解的年轻人，还是不多见的。“你们都是很有潜力的年轻人，数学需要你们这样的新鲜血液。希望你们以后能继续保持对数学的热爱，不断探索，不断创新，在数学的世界中闯出一片属于自己的天地。”

他顿了顿，拿起黑板擦，轻轻擦去了黑板上的部分内容，只留下√7和√8两个符号。“这两个简单的无理数，今天我们从不同的角度讨论了它们的大小，明天可能还会有新的方法。数学就是这样，永远没有止境，永远充满惊喜。只要我们保持好奇心和求知欲，就能在数学的道路上一直走下去。”

苏知珩看着黑板上的√7和√8，忽然觉得它们不再是冰冷的符号，而是有了生命。它们就像两颗明亮的星星，在数学的夜空中闪耀，指引着人们前进的方向。“陆老师，谢谢您。今天的讨论让我学到了很多，也让我对数学有了更深的理解。”

裴砚舟也点点头：“是啊，陆老师。每次和您讨论数学问题，都能有新的收获。”

江叙遥笑着说：“希望以后还有更多这样的机会，和大家一起讨论数学，一起探索数学的奥秘。”

陆明渊看着他们三人，脸上露出了温暖的笑容。日光透过窗户，洒在他们身上，仿佛为他们镀上了一层金色的光芒。“会的，只要我们对数学的热爱不变，这样的机会还有很多。数学的世界很大，等待我们去发现的还有很多。让我们一起努力，在数学的道路上继续前行。”

他拿起粉笔，在√7和√8的下方，写下了一行字：“探索永无止境，热爱永不褪色。”粉笔灰落在黑板上，与之前的痕迹交织在一起，仿佛构成了一幅美丽的画卷。而在这幅画卷的背后，是四个对数学充满热爱的人，他们的故事，还在继续。

办公室里的日光依旧明亮，灯管的嗡鸣依旧轻微，可是空气中却多了一份温暖和坚定。√7和√8的讨论虽然暂时告一段落，但是他们对数学的探索，才刚刚开始。在未来的日子里，他们会遇到更多的难题，会探索更多的方法，会在数学的世界中留下属于自己的痕迹。

而这一切，都源于今天这个看似简单却实则意义非凡的讨论。在这个讨论中，他们不仅深入探讨了数学的奥秘，更展现出了对数学那份始终如一、永不磨灭的热爱之情。

这个讨论就像一把神奇的钥匙，打开了他们思维的大门，让他们在数学的海洋中畅游。观点的碰撞，都如同夜空中璀璨的星辰，照亮了他们前行的道路。

正是因为这份，追求更高层次的知识和智慧。

第004章 根号7与根号8

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第4章 根号7与根号8